« 海外ジャグリング事情あれこれ | メイン | なぜクラブは並ぶのか »
2007年12月02日
宇宙に1つしかないカスケード
だいぶ前に買った『The Mathmatics of Juggling』（Burkard Poslster、2002）という本が実はおもしろいことに気づきました。前半半分ほどはサイトスワップの基本的な定理と証明が延々と続く、いかにも数学っぽい本で、通読するには退屈だなーと思っていたんですが、後半のほうは各トピックが独立していて短く、それぞれ非常に興味深い内容になっています。拾い読みするだけでもおもしろい。
中でも一番の驚いたのは「多体問題」に関するものです。割と最近、1990年代に入ってから、ジャグラーにとってはロマンはかきたてられる、こんな予想がされています。
「銀河に1つぐらいか、あるいは宇宙に1つぐらいの存在確率で、8の字を描きながら3ボールカスケードの軌道を回る3つの恒星系が存在するだろう」。
互いに重力を及ぼし合う天体の運動というのは、重力多体問題とかN体問題（Wikipedia:N body problem）と呼ばれ、古くから解くのが難しいとして知られています。18世紀後半に数学者のオイラーとかラグランジュが、簡単なケースで3体問題の解を求めています。1つは太陽のまわりを反対側に位置する2個の天体が円運動するモデル。もう1つは円軌道上を3等分したところに3つの天体が存在するモデル。
これ以外では、非常にカオティックな振る舞いをして、それぞれの天体の質量や位置、速度などの初期条件の違いによって、まったく予測困難な動きをするようになると考えられているそうです。
ところがカスケード軌道は、どうやら比較的安定で、多少の初期条件の違いであればしばらくは大きく軌道が乱れることなく運動を続けるらしい、ということが1993年に示されたそうです。軌道が乱れても再び安定な位置に落ち込むような、そういうバランスが成立しているわけではないようです。だから非常に存在確率が低いということでしょうか。
カスケード軌道が比較的安定した解だと分かった後にも、いくつも新しい解が発見されているそうです。どうやら奇数個であれば、必ず安定したカスケード軌道がありうるということのようです。うーん、ジャグラーならすぐ考えることですが、3体問題で正三角形の頂点に質点があるモデルを3ボールシャワーとすると、nボールシャワーは一般に可能ではないんでしょうかね。ちゃんとこの本を読めば書いてあるのかもしれませんが、読んでいません。
自明でない軌道もたくさんあります。ぜひともアニメーションでみてみたい！ 3カスケードも含めて、いずれも等速度の運動ではないはずですが、といって、ぼくらジャグラーがよく知っている単純な加速度運動とも違うはずです。互いに互いを束縛しつつも、ある種のサイクリックなハーモニーをもって運動するんでしょうね。
ちなみに上のような解のすべてが実際に我々が住んでいるような宇宙で成立するわけではないそうです。引力を距離dの関数で「f(d)=d^(-b)」と表したとき、「b>1」でしか成り立たない解もあるそうです。うーん、あれ、われわれの宇宙は「b=2」じゃないの？ 「b=1」と、この本に書いてますが、2次元＋時間で考えるとb=1なのかしら。よくわかりません。ともあれ、こういうネタが好きな人には、この本おすすめですよ。
追記:アニメーションありました! http://www.soe.ucsc.edu/~charlie/3body/をどうぞ。これは美しいですよ。10個とか20個の質点が本当にこんな運動することがありうるのかと、にわかには信じがたいです。「8 on a daisy」とかみてみてくださいよ、驚愕です。
もっとすごいパターンは、http://www.ams.org/featurecolumn/archive/orbits4.htmlあたりにも。あまりの驚きでウットリです。
投稿者 ken : 2007年12月02日 22:58
コメント
この本、僕も持ってます。ただ英語力の無い自分はまだほとんど読み進めることができていませんが…。そんな面白いことが書いてあるのなら、がんばって読破してみたいですね。こういう理論だらけの話は大好きなので(笑)
投稿者 miyamotoya : 2007年12月03日 16:21
miyamotoyaさん、
こんにちは。
理論といわず、数値シミュレーションしてみてください。
SICPで鍛えた力が今こそとわれますよ!
……嘘です、数値シミュレーション、簡単ですよね、
きっと。
ちょっとやってみようかという気になっています。
数値を何桁ぐらいとるとどの程度の誤差が蓄積して
いくのかとか、よく分かりませんが、単純なモデルなら
PC上でのシミュレーションはすごく簡単そうです。
パラメータを変えながら自動的に安定な解を
見つけるというと、それなりに大変そうですけど。
投稿者 西村 : 2007年12月03日 21:44
アニメーションありました!
本文にリンク追加しました。
投稿者 西村 : 2007年12月03日 23:44